O MySQL é um sistema de gerenciamento de banco de dados (SGBD), que utiliza a linguagem SQL (Linguagem de Consulta Estruturada, do inglês Structured Query Language) como interface. É atualmente um dos bancos de dados mais populares, com mais de 10 milhões de instalações pelo mundo
Existe dois tipos de licença para uso: GPL e licença comercial
O MySQL é multiplataforma, quer dizer que roda em vários sistemas operacionais além de ser compativel com diversas linguagens de programação.
Praticamente em todos os servidores de hospedagem de sites oferecem o mysql por ser de fácil a integração com PHP.
Fonte: partes do texto foram tirados do site Wikipédia